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论基于合数基概念的广义哥德巴赫猜想
作者:chengduode 提交日期:2007-5-23 22:21:00 正常 | 分类: | 访问量:449

内容摘要:自然数奇数,分为奇数合数和奇数素数两大类。通过对能够找到代数表达式的奇数合数进行哲学、逻辑学分析,能够得出一些具有创新意义的研究结论。第一,在1的定义、加法原理和无限性原理的逻辑前提下,素数没有基于乘法的表达公式(等式)。素数问题的实质是一个“加法问题”。第二,以合数基概念为突破口,利用不等式关系,可以设想出一种证明哥德巴赫猜想的新路。第三,提出“广义哥德巴赫猜想”,即,“任何一个大于 1 的自然数 J ,都可以表示成两个素数之和,当且仅当 J≠2 H +3, H= n+2nr+r ,n 、 r 为任意自然数;H为合数基。 ” 在广义哥德巴赫猜想中,所有 “ 只能被 1 和它自己整除的自然数 ” 都是素数,包括 { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , …… } 。
关键词:素数 合数 合数基 广义哥德巴赫猜想
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1742年,德国的一名数学教师哥德巴赫,通过大量验算提出了一个猜测,即:每一个大于2的偶数,都可以表示为两个素数之和,如 6=3+3 , 14=3+11 等等。这就是著名的哥德巴赫猜想,以下简称为“猜想”。人们对哥德巴赫猜想难题的热情,历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者,殚精竭虑,求索不息,然而至今仍不得其解。
下面将从逻辑学、哲学和数学相结合的角度,对“猜想”问题作一些思考,在此基础上,尝试提出一种拓展了的表达形式——广义哥德巴赫猜想。
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一、自然数奇数合数公式
定义:H= n+2nr+r ,n、r为任意自然数;H为合数基;

定义: S为自然数奇数合数。那么,自然数奇数合数公式为: S = 2(n+2nr+r)+1,n、r为任意自然数。

这个公式的证明是这样的:一个奇数合数必然能够表达成两个奇数的积,也就是, S=(2n+1)(2r+1)= 2(n+2nr+r)+1,n、r为任意自然数 ,H= n+2nr+r ,n、r为任意自然数,H为合数基,但是合数基与自然数奇数合数是两个不同的概念。 只有 S = 2H+1,S才是自然数奇数合数。

令 n、r从小到大,验算合数基,不难发现,合数基的数列为:H= { 4,7,10,12,13 …… }对应的奇数合数数列为: S = { 9,15,21,25,27 …… }
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引入合数公式和合数基概念的目的在于:奇数,分为奇数合数和奇数素数两大类;奇数中,除了奇数合数之外,其它的数都是奇数素数。在目前没有找到素数公式的时候,将可以找到代数表达式的奇数合数作为重点研究对象,有可能使得研究的思路更加清晰,并简化问题。

二、“猜想”的哲学、逻辑学分析

从逻辑学的角度,数学家们试图证明“猜想”的逻辑推理,需要依照逻辑学的原理。因此,“猜想”证明工作的成败,既是一个数学的课题,同时,证明过程中逻辑体系的建构,也是至关重要的。
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“猜想”历经两百多年而不得其解,说明目前通用的哲学观、方法论,不足以成为证明“猜想”的哲学基础。也就是说,如果“猜想”真的得证,其证明过程本身,必须突破现行的哲学概念和哲学方法。
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下面将作一点具体分析,由于作者学识有限,错误之处在所难免,希望专家、学者批评指正。
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证题 : 每一个大于 2的偶数,都可以表示为两个素数之和。
定义 : 1的定义:自然数1的定义是数学最基础的定义;1是思维系统纯粹主观的、理想化的概念,它是完全纯粹的、理想化的1,不多一点,也不少一点。
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原理一 : 1+1 = 2,它是数学中最基本的加法原理。人的大脑在进行数学这种抽象的、形式化的、定量的思维活动中,首先确定的原理是1+1 = 2。两个主观的、理想化的1,在思维中相加的过程完全理想化,不受任何干扰,不多一点,也不少一点,正好绝对等于2。

原理二 : 1+1+1+ …… = 无限,它是数学中的无限性原理,即允许 1+1 = 2, 1+1+1 = 3,1+1+1+1 = 4 ……,允许这种主观的、理想化的相加过程在思维中连续地、无限地发展。

素数的定义:只能被它自己和1整除的自然数。这个定义,除了用到1的定义之外,还用到了两个原理,即素数是一种只与1有关而又遵循加法原理和无限性原理的数。那么,“非素数”与素数的本质区别在哪里呢?答案是:“非素数”是不仅仅与 1有关而又遵循加法原理和无限性原理的数;除了1以外,还能被其它数整除,说明“非素数”的定义,是建立在1的定义、整除的定义、加法原理和无限性原理之上。

整除的定义:表示1和除数可以同时作为完全纯粹的、主观的、理想化的概念。
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推论一:在1的定义、加法原理和无限性原理的逻辑前提下,素数没有基于乘法的表达公式(等式)。素数问题的实质是一个“加法问题”。
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在定义素数时,思维中“乘法”、“除法”、“除数”这些概念还没有建立起来。思维中素数形成的逻辑关系是: 1的定义“+“加法原理”+“无限性原理”- > 素数 “素数” +“整除的定义” - > 合数

因此,按照以上的逻辑关系,素数当你接受其概念之时,它就仅仅只是思维中“加法形态”的问题。如果硬是要寻找基于乘法之上的素数公式,那将是违背逻辑学的基本原理的。
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推论二 :在 1的概念、整除的定义、加法原理和无限性原理的逻辑前提下,“非素数”(包括偶数和奇数合数),存在基于乘法的表达公式(等式),其中:
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Q=2N,Q表示自然数偶数;

S= 2(n+2nr+r)+1=2H+1 ,S为自然数奇数合数,H为合数基,n、r为任意自然数。

根据推论二,定义X为素数基,那么素数的表达式为 Z =2X+1, X ≠ H ≠ n+2nr+r , n、r为任意自然数。

在推论一、推论二的逻辑前提下,“猜想”问题实质上变形为另外一个问题:为什么两个素数之和可以含盖全体偶数。

令:Z + Z’ = Q, Z 、Z’表示素数

即 (2X+1) + (2X ’ +1)= Q , X、X ’ 表示素数基

由于上式左边中,表示X和X ’ 的不等式X ≠ n+2nr+r , n、r为任意自然数,n、r的取值在无限范围内连续无断点;又由于已经验算表明上式右边的Q在有限范围连续无断点,故由此推论上式右边也在无限范围内连续无断点。

即 Z + Z’ = Q 恒成立,亦即,两个素数之和可以含盖全体偶数。
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三、哥德巴赫猜想的广义表达式

对于一个数学爱好者来说,也许上述证明仍然不能让他们信服。他们会说,你的证明用到了一个新的猜想——“基于不等式的表达式,其左边具有连续性,右边也具有连续性”;你是用这个新的猜想,置换了哥德巴赫猜想。

对于上述这种可能的反驳,可以作如下解释:

 1、 本文确实用“无限连续性”原理置换了哥德巴赫猜想;

 2、 “无限连续性”原理是比“猜想”更加基础层次的逻辑前提,从逻辑学的角度,这个逻辑前提,对证明过程而言是有效的;

 3、本文的意义在于置换之后,已经可以从逻辑上诠释哥德巴赫猜想;

 4、本文提出了“在1的定义、加法原理和无限性原理的逻辑前提下,素数没有基于乘法的表达公式(等式),素数问题的实质是一个‘加法问题’”,这样一个新的论断;

 5、如果外延发挥一下本文的方法,可以引申出许多思考、探索的方向,还可以引申出一个广义的哥德巴赫猜想。定义素数的全集合为: Z = { 1,2,3,5,7,11,……},

那么,广义的哥德巴赫猜想为: “任何一个大于 1的自然数J,都可以表示成两个素数之和,当且仅当J≠2H+3, H=n+2nr+r ,n、r为任意自然数;H为合数基。”

广义的哥德巴赫猜想将素数的定义扩展到了素数的全集合,即允许定义1和2 为素数,并且提出了一个更加神奇的“全定域广义哥德巴赫猜想”,以及“广义哥德巴赫猜想”成立的条件。
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广义“猜想”的哲学、逻辑学创新,在于将全体大于1的自然数纳入“猜想”的命题之内。按照广义“猜想”,只要某一自然数不等于2H+3,即不等于{11、17、23、27、29、35、37、41…… },那么它都可以表示成两个素数之和。例如: 3 = 1+2 ,9 = 2+7,10 = 5+5 ,12 = 5+7,15= 2+13 , ……

在广义 “猜想”中,2是素数。 2符合素数的定义,2完全属于“只能被它自己和1整除的自然数”的范畴。广义“猜想”提出之后,由于所有偶数都不可能等于

2H+3这样一个奇数表达式,因此,原来的哥德巴赫猜想成为广义“猜想”的特例,成为名副其实的“狭义哥德巴赫猜想”。关于广义“猜想”与狭义“猜想”的逻辑关系问题,不宜将这个问题简单化,就如同狭义相对论和广义相对论的逻辑关系一样。广义“猜想”与狭义“猜想”的逻辑学意义,需要引起哲学、数学和逻辑学的学者们进一步关注。
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 参考书目:
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 ① 《现代逻辑科学导引》王雨田 主编 中国人民大学出版社
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 ② 《 20 世纪西方哲学名著导读》邱仁宗 主编,湖南出版社
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 作者简介:程平,现任武汉市社会科学院哲学所副研究员
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 该文被专业数学网站 数学时空 收录:
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 http://www.shuxue123.com/Article_Show.asp?ArticleID=134
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#日志日期:2007-5-23 星期三(Wednesday) 晴


 
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