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 今天博客排名2000整，呵呵庞加莱猜想作者：太极螳螂 提交日期：2006-7-11 15:22:00
庞加莱猜想 大家都学过平面，比如我们说平铺在桌子上的一张纸就是一个平面。一个馅饼，如果不考虑厚度的话，也是一个平面。 平面
事物总是相对的，有“平”就有“曲”，那么什么是曲面呢？曲面就是“弯曲”的面。我们把纸叠一下、揉皱、或者卷起来，它就是曲面了。现在我们看几个曲面的例子。 曲面
现在我们开始科学研究工作。 这几个曲面（不考虑厚度）都不太一样，大家可以先想一想，怎么把它们区分开呢？ 很明显，喇叭和南瓜有点不一样，喇叭有“边”，南瓜没有“边”，我们把南瓜这样的曲面叫做封闭的，没有边的叫做开放的。所以布和喇叭是开曲面，南瓜、游泳圈、戒指和克莱因瓶是闭曲面。还可以找到很多闭曲面的例子，比如乒乓球、肥皂泡等等。 好了，开曲面就不管了，我们专门研究闭曲面。 哦，南瓜和游泳圈好像有那么点不一样，游泳圈有一个洞。现在做个试验，找一条绳子，分别把南瓜和游泳圈都捆上，捆游泳圈的时候绳子要穿过那个洞。然后使劲晃动绳子……南瓜好像很不好捆，稍微晃悠晃悠就掉了，而游泳圈怎么也晃悠不掉，是吧？这就是它们的不同。实际上，数学家把南瓜的这种性质叫做“单连通性”，我们说南瓜面是单连通的。 最后那个克莱因瓶长得很怪，好像是一个怪物自己咬住了自己的尾巴，呵呵。我们看看他与南瓜和游泳圈有什么不同。如果一个小虫子跑到了游泳圈里面，它可就惨了，要是不把游泳圈搞一个洞，它怎么也出不来。小朋友想一下它要是掉在克莱因瓶里面，会怎么样？仔细看看图，就知道它爬啊爬啊——就爬出来了。也就是说，南瓜和游泳圈都是有里外之分的，而克莱因瓶没有里外之分，这种性质数学家叫做可定向性。我们说，南瓜游泳圈是可定向的，克莱因瓶是不可定向的。 综合上面所说，对于闭曲面，我们就有了一个表格。
现在再描述一下南瓜面，就可以说南瓜面是单连通的可定向的闭曲面。现代数学家也把曲面叫做流形，我们也可以说南瓜面是单连通的可定向的闭流形。 然后我们再看看游泳圈和戒指（不是实心的哦），用我们刚才定义的性质，它们都不是单连通的，都是封闭的，都是可定向的。除了粗细有点差别，好像差不多。想象一下，如果它们都是橡皮泥做的，那么我们很快就能把一个变成另一个。但是要把游泳圈变成南瓜，就要把游泳圈割断了才行。这是一个很重要的区别。在数学家眼里，游泳圈和戒指没有什么区别，并用这样一个专有名词来表示他们的相似之处——同胚。我们说游泳圈和空心戒指是同胚的。 大家都玩过吹肥皂泡吧？肥皂泡泡被吹出来的时候有圆的，有扁的。它们还可以变来变去，圆的变成扁的，扁的变成圆的。根据前面的概念，所有的肥皂泡泡都是同胚的，它们也和气球、南瓜面、乒乓球都同胚。 到这里，我们已经知道了这几个概念，闭曲面、单连通性、可定向和同胚。如果足够细心的话，就能理解这句话了 所有的单连通的可定向的闭曲面都同胚于球面。 也就是说，如果一个没有边的、用绳子拴不住的、有里外之分的橡皮泥做的东东，我们都能在不破坏它的情况下把它捏成一个圆球。或者说，如果我们不断地给这个东西充气，他最终会变成一个圆圆的气球。 这就是著名的庞加莱猜想。 法国数学家庞加莱是历史上最伟大的数学家之一，但是实际上一个不是学数学的人到了大学毕业也不一定知道他的名字。这里面的原因就是庞加莱是十九世纪末人，而现在的一个理工科大学毕业生所学的数学也就到十八世纪中叶，一个小学生学的数学是二千年前的数学。 庞加莱在数学上的贡献之一就是创立了数学重要的一个分支——拓扑学，并且提出了庞加莱猜想。这个猜想十分重要，一方面因为它关系到拓扑学的根本基础，而拓扑学也是现代数学的重要支柱；另一方面这个猜想也联系到我们对自身所处空间的基本认识。但是这个猜想证明起来十分困难，它已经困挠了数学家一百多年。 这个猜想描述起来也十分简单，在我们一般的生活经验下，甚至是显然的。但是曲面有无穷多种，它的种类比自然数还要多（虽然它们都是无穷多，这个以后再作介绍），必须要采用很好的数学方法确定和描述曲面的特点。美国和俄罗斯的数学家做了很多开创性的工作。就在前几天，我国的数学家朱熹平和曹怀东成功地证明了这个猜想，现在我们可以称之为庞加莱定理了。这是我国数学家在这个世纪取得的最辉煌的数学成就，我们有充分的理由为他们的贡献感到骄傲和自豪。 |
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